模型的求解 —— 损失函数

• 现在的问题是，怎样得到这样的分解方式 R̂=P×Q 呢？
• 矩阵分解得到的预测评分矩阵 R̂，与原评分矩阵 R 在已知的评分项上可能会有误差，我们的目标是找到一个最好的分解方式，让分解之后的预测评分矩阵总误差最小

损失函数

• 我们选择平方损失函数，并且加入正则化项，以防过拟合

• 其中λ∑1_u▒〖||P_u ||〗^2 +λ∑1_i▒〖||Q_i ||〗^2 是正则化项，λ 一般通过交叉验证得到

模型的求解算法 —— ALS

• 现在，矩阵因子分解的问题已经转化成了一个标准的优化问题，需要求解 P、Q，使目标损失函数取最小值
• 最小化过程的求解，一般采用随机梯度下降算法或者交替最小二乘法来实现

交替最小二乘法（Alternating Least Squares，ALS）

• ALS的思想是，由于两个矩阵P和Q都未知，且通过矩阵乘法耦合在一起，为了使它们解耦，可以先固定Q，把P当作变量，通过损失函数最小化求出P，这就是一个经典的最小二乘问题；再反过来固定求得的P，把Q当作变量，求解出Q：如此交替执行，直到误差满足阈值条件，或者到达迭代上限

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