ALS算法具体过程如下：

I.为 Q 指定一个初值 Q0，可以是 随机生成或者全局平均值

II.固定当前 Q0 值，求解 P0

III.固定当前 P0 值，求解 Q1

IV.固定当前 Q1 值，求解 P1

V.…（重复以上过程）

直到损失函数的值 C 收敛，迭代结束

求解过程

• 以固定 Q，求解 P为例
• 由于每一个用户 u 都是相互独立的，当 Q 固定时，用户特征向量 Pu 应该取得的值与其它用户特征向量无关；所以每一个 Pu 都可以单独求解
• 优化目标 min┬(P,Q)⁡C 可转化为

• 那么我们的目标变成了：求每一个用户特征向量 Pu ，使得 L_u (P_u ) 取得最小值
• Lu 对 Pu 求偏导：

• 令 (∂L_u)/(∂P_u ) = 0，可以得到

• 由于 Pu 、Qi 是向量，

• 所以有

• Qi 是物品 i 的特征向量，所以等式可以写为：

• 可以看到，物品特征向量构成的矩阵，其实就是 Q：(Q_1, Q_2,Q_3,…,Q_n )=Q
• 所以可以得到：(QQ^T+λI)P_u=QR_u
• 解得P_u=〖(QQ^T+λI)〗^(-1) QR_u
• 这样一一解出每一个 Pu，就可以得到这一步的用户特征矩阵 P 了
• 同样，下一次固定 P 时，可以解得Q_i=〖(PP^T+λI)〗^(-1) PR_i

梯度下降算法

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